Спросите библиотекаря
Всем читателям! Доступ к ведущим мировым онлайн-ресурсам Перейти к списку

«Врата учёности» в освоении математики

19 ноября 2020 года

Экскурсоводы Ленинки рассказывают

На сайте Российской государственной библиотеки в рамках цикла «Экскурсоводы Ленинки рассказывают» продолжается публикация серии статей доктора филологических наук Татьяны Мироновой, посвящённых старинным русским рукописным учебникам. Сегодня речь пойдёт про освоение математики на Руси.


Арифметика и геометрия. Фрагмент

Математические знания на Руси заимствованы от греков: Византийская империя даровала нам буквенную цифирь — обозначение чисел буквами алфавита, с которым русичи познакомились после принятия христианства. Но и до Крещения Руси жители Древнерусского государства без математики не обходились. Они строили крепости, терема и ладьи, путешествовали и торговали, платили долги и собирали налоги, и всё это требовало математических навыков и умений. Однако учебников математики в те далёкие времена на Руси не было. Как же тогда осваивали русичи счёт и вычисления?


Построенный русичами Новгород. Источник

Историки математики реконструировали древнерусскую технику счёта. Для обучения этой технике действительно не требовалось специальных учебников и задачников. Все четыре арифметических действия производились на особом счётном поле или доске при помощи счётного материала — вишнёвых или сливовых косточек, которые специально для этого носили с собой в мешочке. Счётной доской могло служить всё, что окажется под рукой: и столешница, и лавка, и обычная доска, и даже гладкая поверхность земли. Счётное поле линиями разделяли на колонки, каждая из которых обозначала разряды — единицы, десятки, сотни. Числа в колонках обозначали косточками. Называлась такая техника «счёт костьми». Это простое «устройство» очень походило на бухгалтерские счёты, по металлическим пруткам которых движутся деревянные «костяшки». Древнерусский «счёт костьми» явился их прототипом. Считается, что подобное устройство изобрели арабы и назвали его «абак». Позднее абак заимствовали греки и римляне, от которых «счёт костьми» распространился по всей Европе.


Счёты — потомок древнерусского абака. Источник

Русичи производили на абаке все четыре арифметических действия. Результаты же своих вычислений они, как полагают историки математики, записывали на «церах». Церы — это особые дощечки, залитые воском, на них наносили числа металлическим стерженьком — «писалом». У «писала» один конец был заострённым — для начертания чисел, а другой представлял из себя лопаточку, которой заглаживали написанное. Вот почему до наших дней не дошло никаких свидетельств о вычислениях в Древней Руси. «Церы», или как их ещё называют, «вощечки» представляли собой самоуничтожающуюся книжность. Археологи во множестве находят их в раскопках.


Церы (дощечки для письма). Реконструкция. Дерево (можжевельник), воск. Фото: Мария Говтвань, РГБ. Выставка «Обиход писца» в Российской государственной библиотеке

О том, что русичи обучались математическим навыкам именно таким образом, свидетельствует множество берестяных грамот с числовыми пометками, записи писцов с обозначением даты создания рукописной книги, летописи с исторической хронологией, надписи на камнях. Древнейшей из них считается знаменитая надпись на Тмутараканском камне, относящаяся к XI веку: «В лето 6576 (1068) индикта 6 Глеб князь мерил море по льду от Тьмутороканя до Корчева — десять тысяч и четыре тысячи сажен».


Тмутараканский камень. Источник

Итак, счёт и вычисления на Руси знали задолго до появления здесь письменности и буквенной цифири. Введение византийской нумерации для обозначения чисел упрочило математические знания, но обучение русичей арифметике долгие века было устным и зависело от профессиональных потребностей обучаемых — строителей, купцов, сборщиков дани, ремесленников. Простых математических знаний требовала и денежная система Руси, начиная с XI века, когда 1 гривна серебра равнялась 20 ногатам или 25 кунам, или 50 резанам. Математика в Древнерусском государстве могла преподаваться и на вполне высоком уровне, о чём свидетельствуют два исторических документа: «Русская правда» — свод законов Древней Руси X—XI веков, где содержатся сложные расчёты долгов, штрафов и процентов, и трактат 1136 года учёного монаха Кирика Новгородца «Учение, им же ведати человеку числа всех лет», посвящённый средневековой вычислительной математике.


Новгородская Кормчая с сочинением Кирика Новгородца. Источник

Несколько столетий — с XIII по XVI век — математические знания оставались законсервированными в рамках буквенной цифири и четырёх арифметических действий. Но уже с XVII века, когда вслед за европейскими странами Русь познакомилась с цифровой системой индийцев и арабов, начался новый этап обучения математике в Русском государстве.

XVII век ознаменовался большим числом рукописных математических руководств, в которых рядом с «церковным числом» появилось новшество — арабские цифры, или, в терминологии того времени, «цифирные числа». Русские учебники первоначально являлись записью устных уроков их авторов — каждый на свой лад. Содержание учебников соответствовало требованиям заказчика.


Арифметика и геометрия. Задачи на сложение и вычитание

Интересно познакомиться со старинными рукописными математическими учебниками из Российской государственной библиотеки. Учебник арифметики и геометрии конца XVII — начала XVIII веков, хранящийся в собрании Невоструева, наверняка написан по заказу купца. Он состоит из разделов, посвящённых арифметике и геометрии. Арифметический раздел — это задачник с типичными для торговли задачами на сложение, вычитание, умножение и деление. Книга хранит и нематематические сведения: списки редкостных заморских тканей, драгоценных камней, видов пушнины, химических веществ, требующихся для практических нужд торговца.

Арифметика XVII века из музейного собрания Российской государственной библиотеки — универсальное математическое руководство, о чём сказано в её предисловии: «Сия мудрость есть изыскана от древних философов, нарицается арифметика, сиречь счётная». В ней собрано множество математических сведений, начиная с правил нумерации, выполнения действий с целыми числами и дробями, и заканчивая демонстрацией таблиц сложения и умножения.


Арифметика. Таблица умножения

В Арифметике много практических задач с решениями, так что по этому учебнику можно было не только освоить предмет с учителем, но и заняться самообразованием. Сегодня такую книгу назвали бы «решебником».

В XVII веке вышло более двадцати печатных арифметик, которые распространялись и в списках, поскольку нужда в математических знаниях в России была велика. Но лучшим учебником явилась Арифметика Леонтия Магницкого, изданная в 1703 году по распоряжению Петра I для навигацкой школы в Петербурге, его тоже размножали в списках. Заглянем в один из таких списков второй половины XVIII века из собрания Алексея Ивановича Маркушевича.


Титульный лист рукописной Арифметики Магницкого

Арифметика Леонтия Магницкого систематизировала собранные в ней из разных источников математические знания: «Арифметика сиречь наука числительная. С разных диалектов на славянский язык переведённая и воедино собрана». Магницкий излагал не только десятичную систему счисления и действия с ней, но рассматривал извлечение корней, решение квадратных уравнений, основы алгебры, геометрии и тригонометрии. Завершался учебник пособием по астрономии и навигации.

Михаил Васильевич Ломоносов назвал Арифметику Магницкого наряду с Грамматикой Смотрицкого своими «вратами учёности». С её помощью на протяжении столетия обучали математике юные поколения Российского государства и заложили основы для развития математики в России Нового времени.


Арифметика Магницкого


Статьи цикла:

Как на Руси учили читать по Псалтири и Часослову

Во время посещения данного сайта на Ваш компьютер, телефон или иное устройство могут быть временно загружены файлы Cookie — небольшие фрагменты данных, обеспечивающие более эффективную работу сайта. Продолжая использование данного сайта, вы соглашаетесь с приёмом файлов cookie.
Подтверждаю ознакомление и согласие